2018政法干警行测备考：同余特性解不定方程

在政法干警考试行测数学运算部分核心考察数与数的运算关系。因此，“数字”及其相关的性质就是算术的基础。该部分内容从表面上看似乎属于只需要牢固记忆的概念性基础知识。但实际上，如果我们能应用得灵活恰当就会变成实用性非常强的解题技巧。

一、知识点简述

我们在解题时，会经常遇到如何求解不定方程，对于不定方程的求解，常用的方法有整除法、特值法、同余特性、代入排除以及奇偶性。今天重点说一下如何应用同余特性来求解不定方程，帮助我们迅速地排除错误答案，锁定正确答案。首先我们先来回顾下常用到的两条同余特性的性质。

1.余数的和决定了和的余数

如：求(23+16)÷5.....?直接计算23÷5....3 16÷5....1，则(23+16)÷5的余数为3+1=4

2.余数的积决定了积的余数

如：求(23×16)÷5.....?直接计算23÷5....3 16÷5....1，则(23+16)÷5的余数为3×1=3

二、方法应用：消元

下面我们通过几道例题来说明如何利用同余特性来求解不定方程：

【例1】两个未知数： X+9Y=67，X和Y为正整数，求X?

A.10 B.11 C.12 D13

【答案】 D

【解析】两个未知数一个方程求解未知数时候，我们看问题求谁，本题求X，那我们就消除另外一个未知数Y，利用同余特性，我们把整个方程除以9，那么可以知道9Y的余数为0，67的余数为4，根据同余特性，我们可以知道余数的和决定了和的余数，最终和余数为4，所以可以知道X÷9的余数应该为4，结合四个选项，我们很容易可以看的出来只有D选项满足X这个条件，故正确答案为D。

【例2】三个未知数： 15X+7Y+9Z=60，X Y Z为正整数，求Y?

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】 C

【解析】当我们遇到三个未知数一个方程时候，求解其中一个未知数，我们就消去另外两个未知数，这时候我们可以除以另外两个未知数的系数的最大公约数。那么求Y，则消去X和Z，15和9的最大公约数为3，所以我们可以把这个方程同除以3，那么根据同余特性我们可以知道，15X的余数为0，9Z的余数为0，60的余数为0，所以7Y的余数也要是0，再利用同余特性第二条性质，余数的积决定积的余数，所以我们可以知道此时Y除以3的余数应该为0，那么同样根据这么个条件，我们再结合四个选项可以知道只有C选项满足题意。

【例3】求未知数的和或者差 7A+8B=111，A和B为正整数且A>B，求A-B?

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】 C

【解析】题干求的是A-B为多少，我们可以把原方程进行构为:6A+9B+(A-B)=111，那我们的目标求的是A-B，我们可以把它当作一个整体，此时对于6A和9B来说相当于另外两个未知数，这时候其实就变成三个未知数一个方程的情况，所以我们可以同时除以6和9的最大公约数3，利用前面说的同余特性我们很容易得出(A-B)除以3的余数为0，根据这个条件，我们再结合选项发现只有C选项满足题意。