2016河南公务员考试行测备考：不定方程的解法

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2016河南公务员考试行测备考：不定方程的解法

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近年来，2016河南公务员行测考试中不定方程出现的频率较高，例如2015年河南省考63题、2014年河南省考34题等。为了帮助各位学员更好的备考，这里将系统的讲解一下不定方程的解法。

　　首先了解一下什么是不定方程。未知数的个数大于方程的个数，并且未知数受到限制(比如要求是整数、正整数、有理数等)，这样的方程被称为不定方程。类似于ax+by=c，从这个式子中能够看出，不定方程有无数组解，解不是唯一的。但是，在数学运算题目有且只有一个解，所以为了保证答案的唯一性，题干中都会对未知数做出限制。因此，在解决不定方程问题时，一定要注意限定条件。

　　解决不定方程的实质为：找到一组符合题干条件的(x y)使方程成立。问题是，怎样在无数组(x y)中快速找到这组?最容易想到的方法是一一试验，将x=1、2、3、4……代入，看得到的y值是否符合题意。但这样做的话，有可能非常费时。既然一一代入自然数麻烦，不妨换个思路，尝试代入选项，最多代入三次就能得到正确答案。这就是，解决不定方程最常用的方法：代入排除法。

　　【例1】(2015河南省考-63)某旅游公司有能载4名乘客的轿车和能载7名乘客的面包车若干辆，某日该公司将所有车辆分成车辆数相等的两个车队运送两支旅行团。已知两支旅行团共有79人，且每支车队都满载，问该公司轿车数量比面包车多多少辆?

　　A. 5 B. 6

　　C. 7 D. 8

　　【解析】假设该公司轿车数量为x，面包车数量为y。根据题意得4x+7y=79，这是一个不定方程，要注意寻找题干的限定条件。根据“将所有车辆分成车辆数相等的两个车队”，得到限定条件：x+y=偶数。所以x-y=偶数(奇偶特性，若任意两个数的和是偶数，那么差也是偶数)，排除答案AC。接着就是解不定方程的问题了，将选项看成是题目给出的一个条件，代回题干。比如，代入选项D得，

　　x-y=8

　　4x+7y=79

　　解方程组，得x=135/11，y=46/11，而轿车和面包车的数量必须是整数，所以这组解不符合题意，选项D错误，答案为B。

　　采用代入排除法解答例1这道题时，只解一次方程就得到答案。但有些题目需要解三次才能得到答案，遇到这种情况时，代入排除法没有显示出它的快速解题性能，不适用于解答这种题目，这时可以考虑数字特性，包括奇偶特性、尾数法和倍数特性。

　　【例2】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?()

　　A. 3B. 4

　　C. 7D. 13

　　【解析】假设大包装盒用了x个，小包装盒用了y个，根据题意得到

　　x+y>10(限定条件),12x+5y=99(不定方程)，求x-y=?

　　这是一道明显的不定方程问题，如果采用代入排除法做的话，要解多个方程组，计算量太大，不妨考虑数字特性。

　　先看奇偶性：99为奇数，12x为偶数，则5y为奇数

　　再看尾数：99的尾数为9,5y的尾数为5，所以12x尾数为4

　　所以x的可能值为2、7。当x=2，代入不定方程，得y=15，满足限定条件，符合题意，所以这是我们要找的一组解，此时两种包装盒相差13个，答案为D。

　　总之，不定方程常用的两种解法为：代入排除法和数字特性。其中代入排除可以解决几乎所有的不定方程问题。通过以上的例题，希望为大家的备考提供帮助。